Примеры решения задач. 1. В углах при основании равнобедренного треугольника с боковой стороной 8 см расположены заряды q1 и q2

1. В углах при основании равнобедренного треугольника с боковой стороной 8 см расположены заряды q1 и q2. Определить силу, действующую на заряд 1 нКл, помещенный в вершине треугольника. Угол при вершине 1200. Рассмотреть случаи: а) q1 = q2 = 2 нКл; б) q1 = - q2 = 2 нКл.

Дано: |q1| = |q2| = 2 ∙ 10-9 Кл; q3 = 10-9 Кл; r = 0,08 м; α = 300; ε = 1.

Найти: F1, F2.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции поле каждого из зарядов q1 и q2 действует на заряд q1 независимо. Это значит, что на заряд q3 действуют силы (рис. 1,а)

Так как |q1| = |q2|, то |F13| = |F23|. Векторная сумма F = F1 + F2 является искомой величиной. Модуль силы определяется по теореме косинусов В случае одноименных зарядов q1 и q2 из рис. 1,а видно, что угол β = 1200, поэтому F1 = F13 = F23;

В случае разноименных зарядов q1 и q2 из рис. 1,б видно, что угол β = 600 и, следовательно,

Ответ: F1 = 2,8 мкН; F2 = 4,8 мкН.


2. Два равных отрицательных заряда по 9 нКл находятся в воде на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов.

Дано: q1 = q2 = -9 ∙ 10-9 Кл; ε = 81; r0 = 0,08 м; r1 = r2 = 0,05 м.

Найти: Е, φ.


Решение. Напряженность поля, создаваемого в точке А (рис. 2) зарядами q1 и q2 по принципу суперпозиции полей, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из зарядов:

Е = Е1 + Е2. (1)

По теореме косинусов

(2)

Напряженность точечного заряда q

где ε – диэлектрическая проницаемость; ε0 – электрическая постоянная; r – расстояние от заряда до точки поля, в которой определяется его напряженность. Заряды q1 и q2 отрицательны, следовательно, векторы его Е1иЕ2направлены по линиям напряженности к зарядам. По условию заряды q1 = q2 расположены на одинаковом расстоянии от точки А, поэтому Е1 = Е2. Следовательно, формула (2) принимает вид Е = Е1 ∙ cos α, где cos α = h/r1,

Тогда напряженность в точке А

Потенциал φ, создаваемый системой точечных зарядов в данной точке поля, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов Потенциал φ результирующего поля в точке А равен φ = φ1 + φ2. Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, Следовательно,

Ответ: Е = 480 В/м; φ = - 40 В.

3. Заряд 1 нКл переносится в воздухе из точки, находящейся на расстоянии 1 м от бесконечно длинной равномерно заряженной нити, в точку на расстоянии 10 см от нее. Определить работу, совершаемую против сил поля, если линейная плотность заряда нити 1 мкКл/м. Какая работа совершается на последних 10 см пути?



Дано: r0 = 0,1 м; r1 = 1 м; r2 = 0,2 м; q = 1 ∙ 10-9 Кл; ε = 1; τ = 1 ∙ 10-6 Кл/м.

Найти: А1, А2.

Решение. Работа внешней силы по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом φi в точку с потенциалом φ0 равна

(1)

Бесконечно равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда τ создает аксиально – симметричное поле напряженностью Напряженность и потенциал этого поля связаны соотношением откуда Разность потенциалов точек поля на расстоянии ri и r0 от нити

(2)

Подставляя в формулу (1) найденное выражение для разности потенциалов из (2), определим работу, совершаемую внешними силами по перемещению заряда из точки, находящейся на расстоянии 1 м, до точки, расположенной на расстоянии 0,1 м от нити:

Вычислим на калькуляторе выражение по программе

1 Вп 9 /-/ × 1 Вп 6 /-/ × 10 ln ÷ 2 ÷ F π ÷ 8,85 ÷ 1 Вп 12 /-/ =

Показания индикатора: 4,14087 ∙ 10-5, т.е. 4,1∙ 10-5 Дж.

Работа по перемещению заряда на последних 10 см пути равна

Ответ: А1 = 4,1 ∙ 10-5 Дж; А2 = 1,25 ∙ 10-5 Дж .

4. К одной из обкладок плоского конденсатора прилегает стеклянная плоскопараллельная пластинка (ε1 = 7) толщиной 9 мм. После того как конденсатор отключили от источника напряжения 220 В и вынули стеклянную пластинку, между обкладками установилась разность потенциалов 976 В. Определить зазор между обкладками и отношение конечной и начальной энергии конденсатора.

Дано: U1 = 220 В; U2 = 976 В; d1 = 9 ∙ 10-3 м; ε1 = 7; ε2 = 1.

Найти: d0; W1/W2.

Решение. После отключения конденсатора и удаления стеклянной пластинки заряд на его обкладках остается неизменным, т.е. выполняется равенство

(1)

где С1 и С2 – электроемкости конденсаторов в начальном и конечном случае.



По условию конденсатор вначале является слоистым и его электроемкость определяется по формуле

(2)

где S – площадь обкладок; d0 – зазор между ними, d1 – толщина стеклянной пластинки; ε1 и ε2 – диэлектрические проницаемости стекла и воздуха соответственно.

После удаления стеклянной пластинки электроемкости конденсатора

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим

откуда

Начальная и конечная энергии конденсатора

Тогда отношение эти энергий W2/W1 = Учитывая (1), получим

Ответ: d0 = 1 ∙ 10-2 м; W2/W1 = 4,44.

5. Батарею из двух конденсаторов емкостью 400 и 500 пФ соединили последовательно и включили в сеть с напряжением 220 В. Потом батарею отключили от сети, конденсаторы разъединили и соединили параллельно обкладками, имеющими одноименные заряды. Каким будет напряжение на зажимах полученной батареи?

Дано: U1 = 220 В; С1 = 400 пФ; С2 = 500 пФ.

Найти: U2.

Решение. У последовательно соединенных конденсаторов заряды на обкладках равны по модулю q1 = q2 = q и заряд батареи равен заряду одного конденсатора. Емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов определяется по формуле Для батареи из двух конденсаторов

а их заряд

(1)

При отключении конденсаторов их заряд сохраняется. У параллельно соединенных конденсаторов заряд батареи равен сумме емкостей зарядов конденсаторов q’ = q1 + q2, а емкость – сумме емкостей

Напряжение на зажимах батареи из двух параллельно соединенных конденсаторов

(2)

Подставляя (2) в (1), получаем

Ответ: U2 = 108,6 В.

6. Заряд конденсатора 1 мкКл, площадь пластин 100 см2, зазор между пластинками заполнен слюдой. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора и силу притяжения пластин.

Дано: q = 10-6 Кл; S = 10-2 м2; ε = 6.

Найти: w; F.

Решение. Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора

(1)

где Е – напряженность поля конденсатора; S – площадь обкладок конденсатора; ε – диэлектрическая проницаемость слюды; ε0 – электрическая постоянная.

Напряженность однородного поля плоского конденсатора

(2)

где σ = q/S – поверхностная плотность заряда. Подставляя (2) в (1), получаем

Объемная плотность энергии электрического поля

w = (3)

Подставляя (2) в (3), получаем

w = w =

Ответ: F = 0,94 Н; w = 94,2 Дж/м3.

7. В медном проводнике сечением 6 мм и длиной 5 м течет ток. За 1 мин в проводнике выделяется 18 Дж теплоты. Определить напряженность поля, плотность и силу электрического тока в проводнике.

Дано: S = 6 ∙ 10-6 м2; l = 5 м; t = 60 с; q = 18 Дж; ρ = 1,7 ∙10-8 Ом ∙ м.

Найти: E; j; J.

Решение. Для решения задачи используем закон Ома и Джоуля – Ленца. Закон Ома в дифференциальной форме имеет вид

j = γE, (1)

где j – плотность тока; E – напряженность поля; γ – удельная проводимость.

Закон Джоуля – Ленца

(2)

Здесь J – сила тока, t – время.

(3)

- сопротивление проводника, где ρ, l, S – удельное сопротивление, длина и площадь поперечного сечения проводника соответственно.

Силу тока J находим из (2) с учетом (3):

По определению, плотность тока равна j = J/S;

Напряженность поля в проводнике определим из (1), учитывая, что γ = 1/ρ.

Ответ: E = 1,3 ∙ 10-2 В/м; J = 4,6 А; j = 7,7 ∙ 105 А/м2 .

8. Внутреннее сопротивление аккумулятора 2 Ом. При замыкании его

одним резистором сила тока равна 4 А, при замыкании другим – 2 А. Во внешней цепи в обоих случаях выделяется одинаковая мощность. Определить электродвижущую силу аккумулятора и внешние сопротивления.

Дано: r = 2 Ом; J1 = 4 A; J2 = 2A; N1 = N2.

Найти: ξ; R1; R2.

Решение. Закон Ома для замкнутой (полной) цепи имеет вид

(1)

где r – внутреннее сопротивление источника тока; ξ – э. д. с. аккумулятора;

R1 и R2 – внешние сопротивления цепей.

Уравнения (1) представим в виде

(2)

Из равенства (2) следует, что

(3)

Мощность, выделяемая во внешней цепи в первом и во втором случаях, соответственно равна

Из условия равенства мощностей следует, что

(4)

Решая совместно уравнения (3) и (4), получаем

(5)

Подставляя (5) в (2), получаем

Ответ: ξ = 12 В; R1 = 1 Ом; R2 = 4 Ом.

9.Электродвижущая сила батареи равна 20 В. Коэффициент полезного действия батареи составляет 0,8 при силе тока 4 А. Чему равно внутреннее сопротивление батареи?

Дано: ξ = 20 В; η = 0,8; J = 4 A.

Найти: r.

Решение. Коэффициент полезного действия источника тока η равен отношению падения напряжения во внешней цепи к его электродвижущей силе.

(1)

откуда

(2)

Используя выражение закона Ома для замкнутой цепи получаем

(3)

Подставляя (2) в (3) и выполняя преобразования, находим

Ответ: r = 1 Ом.

10. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга, в одном направлении текут токи J1 и J2 силой по 5 А. Между проводниками на расстоянии 30 см от первого расположен кольцевой проводник с током J3 силой 5 А (рис. 3). Радиус кольца 20 см. Определить индукцию и напряженность магнитного поля, создаваемого токами в центре кольцевого проводника.

Дано: J1 = J2 = J3 = J = 5 А; r1 = 0,2 м; r3 = 0,2 м.

Найти: В; Н.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции индукция результирующего магнитного поля в точке А равна

В = В1+ В2+ В3, (1)

где В1и В2 – индукции полей, создаваемых соответственно токами J1 и J2, направленными за плоскость рисунка; В3 – индукция поля, создаваемая кольцевым током. Как видно из рис. 3, векторы В1и В2 направлены по одной прямой в противоположные стороны, поэтому их сумма В1+ В2= В12равна по модулю

(2)

Индукция поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током,

(3)

где μ0 – магнитная постоянная; μ – магнитная проницаемость среды (для воздуха μ = 1); r1, r2 – расстояние от проводников до центра кольца. Подставляя (3) в (2), получаем

(4)


Индукция поля, создаваемого кольцевым проводником с током,

(5)

где r3 – радиус кольца.

Как видно из рис. 3, векторы В12 и В3 взаимно перпендикулярны, поэтому или, учитывая выражения (4) и (5), имеем

Вычислим на калькуляторе выражение

по программе

[( 0,3 - 0,2 )] × = х→П F π × = × 0,3 F х2 = × 0,2 F х2 = F х→П ÷ П→х = П→х 1 ÷ 0,2 F х2 = F х→П + П→х = √ х→П 12,56 ВП 7 /-/ х 5 ÷ 2 = F х→П × П→х =

Показания индикатора: 1,57111 ∙ 10-5 , т.е. 15,67 мкТл.

Напряженность магнитного поля

Ответ: В = 15,7 мкТл; Н = 12,5 А.

11. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 88 кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции. Индукция поля равна 0,01 Тл. Определить радиус траектории электрона.

Дано: U = 88 кВ; В = 0,01 Тл; е = 1,6 ∙ 10-19 Кл.

Найти: r.

Решение. В магнитном поле с индукцией В на электрон, движущийся со скоростью v перпендикулярно В, действует сила Лоренца

(1)

которая обусловливает центростремительное ускорение электрона при его движении по окружности:

(2)

где m – масса электрона; е – его заряд; r – радиус траектории его движения.

Пройдя ускоряющую разность потенциалов U, электрон приобретает кинетическую энергию , равную работе А сил электрического поля Отсюда находим скорость электрона:

(3)

Из уравнения (2) с учетом (3) найдем радиус траектории:

Ответ: r = 0,1 м.

12. Соленоид длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную трехслойную обмотку из провода диаметром 0,1 мм. По обмотке соленоида течет ток 0,1 А. Зависимость В = f(H) для материала сердечника приведена на рис. 4. Определить напряженность и индукцию поля в соленоиде, магнитную проницаемость сердечника, индуктивность соленоида, энергию и объемную плотность энергии поля соленоида.

Дано: l = 0,2 м; D = 0,04 м; N = 3; d = 1 ∙ 10-4 м; J = 0,1 А.

Найти: H; B; μ; L; W; w.

Решение. Поле внутри соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля

(1)

где J – сила тока в обмотке;

(2)

- число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; N – число слоев обмотки; d – диаметр провода. Тогда


По графику В = f(H) находим, что напряженности 3000 А/м соответствует индукция 1,7 Тл. Используя связь между индукцией и напряженностью

(3)

определим магнитную проницаемость

Индуктивность соленоида

(4)

где l – длина, S = πD2/4 – площадь поперечного сечения соленоида. Учитывая (2), получаем

(5)

Объемная плотность энергии магнитного поля

Энергия магнитного поля соленоида

(6)

или

(7)

Подставляя числовые данные в (7), получаем

Ответ: H = 3000 А/м; B = 1,7 Тл; μ = 450; L = 128 Гн;

w = 2,55 кДж/м3; W = 0,64 Дж.

13. На соленоид (см. условие и решение задачи 12) надето изолированное кольцо того же диаметра. Определить электродвижущую силу индукции в кольце и электродвижущую силу самоиндукции в соленоиде, если за 0,01 с ток в его обмотке равномерно снижается до нуля.

Дано: B = 1,7 Тл; D = 0,04 м; J1 = 0,1 А; L = 128 Гн; Δt = 10-2 с; J2 = 0.

Найти: ξi, ξs.

Решение. По условию за время Δt = 0,01 с сила тока в обмотке соленоида равномерно уменьшается от 0,1 А до нуля, поэтому магнитный поток, пронизывающий площадь кольца S = πD2/4, уменьшается от Ф1 = BS до Ф2 = 0. Электродвижущая сила индукции, возникающая в кольце,

Электродвижущая сила самоиндукции ξs, возникающая в соленоиде при выключении тока в нем, Так как при выключении сила тока уменьшается до нуля равномерно, то

Тогда

Ответ: ξi = 0,21 В, ξs = 1280 В.

14.Виток радиусом 5 см с током 1 А помещен в однородное магнитное поле напряженностью 5000 А/м так, что нормаль к витку составляет угол 600 с направлением поля. Какую работу совершат силы поля при повороте витка в устойчивое положение?

Дано: r = 0,05 м; J = 1 А; Н = 5000 А/м; α = 600.

Найти: А.

Решение. Работа А при повороте витка с током J в магнитном поле

(1)

Здесь ΔФ = Ф2 – Ф1 – изменение магнитного потока сквозь площадь витка S = πr2;

Ф1 = B ∙ S ∙cos α – магнитный поток, пронизывающий виток в начальном положении, где α – угол между векторами n и В.

Устойчивым положением витка в магнитном поле является такое поле, при котором направление нормали к нему совпадает с вектором индукции, т.е. cos α = 1. Следовательно, Ф2 = B ∙ S. Таким образом, ΔФ = Вπr2∙ (1 - cos α). Учитывая, что В = μμ0Н, имеем

(2)

Подставляя (2) в (1), получаем

Ответ: А = 2,46 ∙ 10-5 Дж.


0005836679665048.html
0005843404951394.html
    PR.RU™